Решите систему уравнений. 1/x-1/y=1/122x-y=2

Решим систему уравнений:

1/х – 1/у = 1/12,

2х – у = 2.

Рассмотрим первое уравнение:

1/х – 1/у = 1/12.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю 12ху:

1/х – 1/у - 1/12 = 0,

(12у – 12х – ху) / 12ху = 0.

Выразим из второго уравнения у:

2х – у = 2,

у = 2х – 2.

Подставим в полученную дробь:

(24х – 24 – 12х – 2х(х – 1)) / 24х (х – 1) = 0,

упростим числитель:

24х – 24 – 12х – 2х (х – 1) = 24х – 24 – 12х – 2х² + 2х = – 2х²  + 14х – 24 = -2 (х² – 7х + 12).

Получим дробь:

-2 (х² – 7х + 12) / 24х (х – 1) = 0,

- (х² – 7х + 12) / 12х (х – 1) = 0.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

х² – 7х + 12 = 0,

(х – 3) (х – 4) = 0,

х₁ = 3,

х₂ = 4.

Знаменатель не равен нулю при х ≠ 0, у ≠ 0.

Тогда:

при х₁ = 3, у = 2 * 3 – 2 = 4.

при х₂ = 4, у = 2 * 4 – 2 = 6.

Ответ: (3; 4), (4; 6).