В прямоугольном параллелепипеде A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью А А 1 С и прямой А 1 В,если А А

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36y6U6p).

Построим диагональ АС и проведем к ней перпендикуляр ВН.

Тогда Отрезок А1Н есть проекция диагонали А1В на плоскость АА1С1С, а угол ВА1Н наш искомый угол.

Из прямоугольного треугольника АВС, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы АС.

АС² = АВ² + ВС² = 16 + 9 = 15.

АС = 5 см.

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = АВ * ВС / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см2.

Площадь АВС так же равна: Sавс = АС * ВН / 2.

6 = 5 * ВН / 2.

ВН = 12/5 см.

Определим длину диагонали А1В.

А1В² = АВ² + А1В1² = 16 + 9 = 25.

А1В = 5 см.

Из прямоугольного треугольника А1НВ определим синус угла ВА1Н.

Sinва1н = ВН / ВА1 = (12/5) / 5 = 12/25 = 0,48.

Угол ВА1Н = arcsin0,48 = 29⁰.

Ответ: Угол между плоскостью АА1С и прямой А1В равен 29⁰.