Исследование функции с помощью производной y=x^4 - 2x^2 +3 и y=2x^3+3x^2

у (x) = х⁴ - 2х² + 3.

1. Область определения: вся числовая прямая.
2. Найдем производную функции:

у’ (x) = (х⁴ - 2х² + 3)’ = 4x³ -4х.

у’ (x) = 0:

4x³ -4х = 0,

4х (х² – 1) = 0,

4х (х – 1) (x + 1) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = -1,

x₃ = 1.

При х < -1, у’ (х) < 0, значит, функция убывает.

При -1 < х < 0, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

При 0 < х < 1, у’ (х) < 0, значит, функция убывает.

При х > 1, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

Точка х = 0 – точка максимума, y (0) = 3.

Точка х = -1 – точка минимума, y (-1) = 2.

Точка х = 1 – точка минимума, y (1) = 2.

1. Найдем вторую производную:

у’’ (x) = (4x³ -4х)’ = 12x² - 4.

у’’ (x) = 0:

12x² - 4 = 0,

4 (3x² – 1) = 0,

х = √3 /3, х = -√3 /3.

При х < -√3 /3, у’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вниз (вогнута).

При -√3 /3 < х < √3 /3, у’’ (х) < 0, значит, функция выпукла вверх.

При х > √3 /3, у’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вниз (вогнута)..

1. Асимптот нет.
2. Точек разрыва нет.
3. у (-x) = х⁴ - 2х² + 3 = у (х)

функция четная.

1. График: http://bit.ly/2zfD1ey

у (x) = 2x³+3x²

1. Область определения: вся числовая прямая.
2. Найдем производную функции:

у’ (x) = (2x³+3x²)’ = 6x² +6х.

у’ (x) = 0:

6x² +6х = 0,

6х (х + 1) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = -1.

При х < -1, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

При -1 < х < 0, у’ (х) < 0, значит, функция убывает.

При х > 0, у’ (х) > 0, значит, функция возрастает.

Точка х = -1 – точка максимума, y (-1) = 1.

Точка х = 0 – точка минимума, y (0) = 0.

1. Найдем вторую производную:

у’’ (x) = (6x² +6х)’ = 12x + 6.

у’’ (x) = 0:

12x + 6= 0,

х = -1/2.

При х < -1/2, у’’ (х) < 0, значит, функция выпукла вверх.

При х > -1/2, у’’ (х) > 0, значит, функция выпукла вниз (вогнута).

1. Асимптот нет.
2. Точек разрыва нет.
3. у (-x) = -2x³+3x²

функция общего вида.

1. График: http://bit.ly/2hiMLKd