Найдите последнюю цифру числа N, представленного в виде N = 0² – 1² + 2² – 3² + 4² – 5²+ ,,, + 2008² – 2009².

Используя формулу разности квадратов a² - b² = (a - b) * (a + b) преобразуем данное выражение к следующему виду:

N = 0² – 1² + 2² – 3² + 4² – 5²+ ... + 2008² – 2009² = (0 - 1) * (0 + 1) + (2 - 3) * (2 + 3) + (4 - 5) * ( 4 + 5) + .... + (2008 - 2009) * (2008 + 2009) = (- 1) * (0 + 1) + (-1) * (2 + 3) + (-1) * ( 4 + 5) + .... + (-1) * (2008 + 2009) = (-1) * (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2008 + 2009) = (-1) * (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2008 + 2009).

Сумма 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2008 + 2009 представляет собой сумму первых 2009-ти членов первых членов арифметической прогрессии аn с первым членом а1 = 1 и разностью d = 1.

Подставляя эти значения, а также значение n = 2009 в формулу n-го члена арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2, получаем:

S₂₀₀₉ = (2 * 1 + 1 * (2009 - 1)) * 2009 / 2 = (2  + 2009 - 1) * 2009 / 2 = 2010 * 2009 / 2 = 1005 * 2009 = 2019045.

Следовательно,

N = (-1) * 2019045 = -2019045.

Ответ: последняя цифра числа N равна 5.