Найти высоту треугольника ABC,опущенную из вершины А на сторону BC, если А (2,1),В (-3,4),С (1,1)

Пусть АК - высота, опущенная. Из условия перпендикулярности векторов х(АК)х(ВС) + у(АК)у(ВС) = 0 получаем уравнение прямой, проходящей через точки А и К: 4(х - 2) + (-3) (у - 1) = 0 или 4х - 3у = 5.

Уравнение прямой,  проходящей через точки В и С, определяем как (х - х(С)) / (х(В) - х(С)) =  (у - у(С)) / (у(В) - у(С)) или 3х + 4у = 7.

Точка пересечения прямых 4х - 3у = 5 и  3х + 4у = 7 и есть точка К. Координаты точки К (41/25; 13/25).

Величина АК = (((х(К) - х(А))^2 +  (у(К) - у(А))^2)^1/2 = 3/5.