Окружнность,вписанная в треугольник ABC,касантся стороны BC в точке D.Докажите.что если AD-медиана треугольника,тоAB=AC.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2OBR1Wu).

Из точки О, центра окружности, построим отрезки ОК и ОМ к точкам касания окружности и боковых сторон треугольника.

По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезок ВК = ВД, СМ = СД, аналогично АК = АМ.

Так как, по условию, точка Д середина ВС, то ВД = СД, а значит ВК = СМ.

Тогда (ВК + АК) = (СМ + АМ), а значит АВ = АС, а треугольник АВС равнобедренный, что и требовалось доказать.