В какой четверти лежит точка единичной окружности соответствующая числу -22п/3

§ 2. Числовая окружностьОпределение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка A — правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу: 1) Если t > 0, то, двигаясь из точки A в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины t. Точка M и будет искомой точкой M(t). 2) Если t < 0, то, двигаясь из точки A по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь AM длины |t|. Точка M и будет искомой точкой M(t). 3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку A; A = A(0). Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью. Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: . Решение. Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что длина каждой четверти единичной окружности равна . Имеем: , значит, числу соответствует точка B. Далее. AC = π, значит числу π соответствует точка C; , значит, числу соответствует точка D. Числу 2π соответствует точка A, так как, пройдя по окружности путь длиной 2π, т.е. ровно одну окружность, мы попадаем в начальную точку A. Что такое ? Это . Значит, двигаясь из точки A в положительном направлении, нужно пройти целую окружность (путь длиной 2π) и дополнительно путь длиной , который закончится в точке ^ D. Что такое 9π. Это 4×2π + π. Значит, двигаясь из точки A в положительном направлении, нужно четыре раза описать целую окружность (путь длиной 4×2π) и дополнительно еще путь длиной π, который закончится в точке C. Осталось найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу . для этого нужно, отправившись из точки A, пройти по окружности в отрицательном направлении путь длиной . Этот путь закончится в точке B. Пример 2. Найти на числовой окружности точки , , . Решение. Разделив первую четверть AB на три равные части точками K и P, поучим , . Разделив дугу AB пополам точкой M, получим . Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, -7. Решение. Точки, соответствующие числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, — это соответствующие точки на следующем рисунке: . Чтобы найти точку, соответствующую числу -7 нужно, отправляясь из точки A и двигаясь в отрицательном направлении, пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим ≈6,28, значит, нужно еще пройти путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Она немного меньше половины четверти окружности, т.е. длина меньше числа . Точка M = M(-7) отмечена на следующем рисунке: . Вообще, для числовой окружности справедливо следующее утверждение: Если точка M числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует любому числу вида t + 2πk, где k — любое целое число. В самом деле, 2π — длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Если мы находимся в точке M(t), то выполнив еще k полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке M. Итак, M(t) — M(t + 2πk).Пример 4. Найти на числовой окружности точку: а) ; б) . Решение. а) Имеем: Значит, числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу — середина третьей четверти. б) Имеем: значит, числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу . Пример 6. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка 20? ^ Решение. Представим число 20 в виде t + 2πk и подберем значение k так, чтобы число t попало в отрезок [0, 2π] (или [-2π, 0]). Тогда можно будет определить, какой четверти принадлежит точка t, а с ней и точка 20. Сделаем прикидку: 2π≈6,28, значит 2πk ≈ 6,28k; надо подобрать целое число k так, чтобы число 6,28k оказалось как можно ближе к числу 20. очевидно, что k = 3. Имеем 6,28×3 = 18,84. Значит, 20 = 1,16 + 6,28×3≈1,16 + 2π×3. Точка 1,16 находится в первой четверти, значит, и точка 20 принадлежит первой четверти. такой подойдёт ответ