2^4х -7*4^х *3^х-1 + 4*3^2х-1

2^4х - 7 * 4^х * 3^(х - 1) + 4 * 3^(2х - 1) = 0.

Распишем все степени:

4^2х - 7 * 4^х * 3^х * 3^(-1) + 4 * 3^2х * 3^(-1) = 0;

(4^x)^2 - 7 * 4^х * 3^х * 1/3 + 4 * (3^x)^2 * 1/3 = 0;

(4^x)^2 - 7/3 * 4^х * 3^х + 4/3 * (3^x)^2 = 0.

Поделим уравнение на (3^x)^2:

(4^x)^2/(3^x)^2 - 7/3 * 4^х * 3^х/(3^x)^2 + 4/3 * (3^x)^2/(3^x)^2 = 0;

(4^x/3^x)^2 - 7/3 * 4^х/3^x + 4/3 = 0;

((4/3)^x)^2 - 7/3 * (4/3)^x + 4/3 = 0;

Произведем замену, пусть (4/3)^x = a.

Получится уравнение а^2 - 7/3a + 4/3 = 0.

Умножим уравнение на 3:

3а^2 - 7a + 4 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = -7; c = 4;

D = b^2 - 4ac; D = (-7)^2 - 4 * 3 * 4 = 49 - 48 = 1 (√D = 1);

x = (-b ± √D)/2a;

а₁ = (7 - 1)/(2 * 3) = 6/6 = 1.

а₂ = (7 + 1)/6 = 8/6 = 4/3.

Вернемся к замене (4/3)^x = a.

1) а = 1.

(4/3)^x = 1; (4/3)^x = (4/3)^0 (любое число в нулевой степени равно 1).

Отсюда х = 0.

2) а = 4/3.

(4/3)^x = 4/3; (4/3)^x = (4/3)^1.

Отсюда х = 1.

Ответ: корни уравнения равны 0 и 1.