Решите неравенство log10-x^2 (16/5 x - x^2) < 1

log_{(10 - x^2)}(16/5 x - x^2) < 1.

1) Разберем ОДЗ.

а) 10 - х^2 не равно 1;

х^2 не равно 9;

х не равен -3 и 3.

б) 10 - х^2 > 0;

Рассмотрим функцию у = 10 - х^2, это квадратичная парабола, ветви вниз.

Найдем нули функции: у = 0; 10 - х^2 = 0; х^2 = 10; х = -√10 и х = √10.

Решение неравенства: (-√10; √10).

в) 16/5 x - x^2 > 0;

Рассмотрим функцию у = 16/5 x - x^2, это квадратичная парабола, ветви вниз.

Найдем нули функции: у = 0; 16/5 x - x^2; х(16/5 - х) = 0; х = 0 и х = 16/5.

Решение неравенства: (0; 16/5).

2) Решаем неравенство:

Представим 1 как логарифм:

log_{(10 - x^2)}(16/5 x - x^2) < log_{(10 - x^2)}(10 - х^2).

Отсюда: 16/5 x - x^2 < 10 - х^2;

16/5 x < 10;

x < 10 : 16/5 (= 10 * 5/16 = 5 * 5/8 = 25/8)

х < 25/8.

3) Объединяем решения ОДЗ и решение неравенства.

х не равен -3 и 3; 

х принадлежит промежутку (-√10; √10);

х принадлежит промежутку (0; 16/5);

х < 25/8.

Сравним числа 3, 16/5, 25/8 и √10.

3 = √9;

16/5 = √(256/25) = √(10 6/25);

25/8 = √(625/64) = √(9 49/64).

Располагаем числа на одной прямой в порядке: -√10, -3, 0, 3, 25/8, √10, 16/5.

Штрихуем нужные участки. Там, где все штриховки совпадут, и есть решение неравенства.

Решение: (0; 3) и (3; 25/8).