Дан ABCDA1B1C1D1 прямоугольный параллелепипед , в основании лежит прямоугольник, A1D= 14, A1C1= 15, C1D= 13 , найти площадь

Решение задачи: 1. Дан параллелепипед с основаниями ABCD и A1B1C1D1 соответственно. Найдём площадь полной поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 по формуле S= 2(S_a+S_b+S_c):

S_ABCDA1B1C1D1=2*(S_A1B1C1D1+S_A1ADD1+S_D1DCC1)=2*(A1D1*D1C1+A1D1*DD1+D1C1*DD1).

1. Найдём площадь основания параллелепипеда и площадь боковых граней:

S_A1B1C1D1=A1D1*D1C1, S_A1ADD1=A1D1*DD1, S_D1DCC1=D1C1*DD1.

1. Для этого нужно найти стороны A1D1, D1C1 и DD1.

   3.1. В прямоугольнике A1B1C1D1:

   диагональ A1C1=15 (ед.),

   треугольник A1D1С1 - прямоугольный;

   тогда по теореме Пифагора (A1D1)²+(D1С1)²=(A1С1)²,

   отсюда (A1D1)²=(A1С1)²-(D1С1)²=15²-(D1С1)²;

   3.2. В прямоугольнике A1ADD1:

   диагональ A1D=14 (ед.),

  треугольник A1D1D - прямоугольный;

  тогда по теореме Пифагора (A1D1)²+(DD1)²=(A1D)²,

  отсюда (A1D1)²=(A1D)²-(DD1)²=14²-(DD1)².

 Для прямоугольников A1B1C1D1 и A1ADD1 сторона A1D1 - общая. Тогда 15²-(D1С1)²=14²-(DD1)²,

225-(D1С1)²=196-(DD1)²,

225-196=(DD1)²-(D1С1)²,

29=(DD1)²-(D1С1)²,

   3.3. В прямоугольнике D1DCC1:

   диагональ DC1=13 (ед.),

   треугольник DD1C1 - прямоугольный;

  тогда по теореме Пифагора (DD1)²+(D1C1)²=(DC1)²,

  отсюда (DD1)²=(DC1)²-(D1C1)²=13²-(D1C1)².

1. В уравнение 29=(DD1)²-(D1С1)²вместо (DD1)²подставляем 13²-(D1C1)²:

29=13²-(D1C1)²-(D1С1)²,

29=169-2*(D1C1)²,

2*(D1C1)²=169-29,

2*(D1C1)²=140,

(D1C1)²=140:2,

(D1C1)²=70, отсюда D1C1=√70 (ед.).

В уравнение (A1D1)²=15²-(D1С1)² подставляем (D1C1)²=70;

(A1D1)²=15²-70=225-70=155,

(A1D1)²=155, A1D1=√155 (ед.).

1. Найдём сторону DD1. В треугольнике DD1C1:

D1C1=√70, (DD1)²=13²-(D1C1)², тогда

(DD1)²=13²-70=169-70=99,

DD1=√99 (ед.).

1. В формулу площади поверхности параллелепипеда подставляем значения сторон: A1D1=√155, D1C1=√70, DD1=√99.

S_ABCDA1B1C1D1=2*(A1D1*D1C1+A1D1*DD1+D1C1*DD1)=2*(√155*√70+√155*√99+√70*√99)= 2*(√(155*70)+√(155*99)+√(70*99))=2*(√10850+√15345+√6930) (кв. ед.).

Ответ: 2*(√10850+√15345+√6930) (кв. ед.).