Основание равнобедренного треугольника равно 8,радиус вписанной окружности равен 2.Найдите площадь треугольника

Рассмотрим треугольник ABC.

Центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис треугольник ABC.

Так как, треугольник ABC - равнобедренный, то биссектриса и высота на основание AC совпадают.

По условию задачи, основание AC = 8, и радиус вписанной окружности OH = OG = OK = 2.

Очевидно, что AH = HC = 0,5 * AC.

Из прямоугольного треугольника AOH имеем:

OH = AH * tg(угол  OAH). Обозначим угол  OAH = a. Тогда OH = AH * tg(a) и 2 = 4 * tg(a),

tg(a) = 1/2.

Из прямоугольного треугольника ABH имеем:

BH = AH * tg(2a), так как AO - делит угол BAH попалам. Тогда

BH = 4 * tg(2a) = 4 * sin(2a) / cos(2a) = 4 * 2*sin(a)*cos(a) / (cos^2(a) - sin^2(a) ) =

= 4 * 2 / ( cos(a) / sin(a) - sin(a) / cos(a)) = 4 * 2 / (2 - 1 / 2) = 16 / 3.

Площадь треугольника ABC :

S = 0,5 * AC * BH = 0,5 * 8 * 16 / 3 = 64 / 3.

https://bit.ly/2nz2He8