[CM] является медианой, а [CH] - высотой треугольника ABC с прямым углом C. Найдите BH/AH, если CM/CH=5/4.

Рассмотрим полученный треугольник СМН, в котором известно отношение СМ / СН = 4 / 5. Так как СМ медиана в прямоугольном треугольнике СМН, то АМ = ВМ = АВ / 2, то есть медиана проведённая к гипотенузе равна половине этой гипотенузы.Для вычислений представим  СМ / СН = 4а / 5а, где а какой-то коэффициент. 

Из прямоугольного  треугольника СМН найдём  катет НМ =√ (CM ^ 2 - CH ^2) = √[(5a) ^ 2 - (4a) ^ 2] = √ (25 * a ^ 2 - 16 * a ^ 2 ) = √ (9a ^ 2) = 3a. АН = АМ - НМ = 5а - 3а = 2а, ВН = АМ + НМ = 5а + 3а = 8а. Теперь определим отношение  ВН / АН = 8а / 2а = 4.