Полное исследование функции X2-2x+2/x-1

f(x) = (х^2 - 2x + 2)/(x - 1).

1) Найдем область определения и область значений.

(х - 1) не равно нулю (делить на ноль нельзя);

D(f) = R, кроме х = 1.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; (х^2 - 2x + 2)/(x - 1) = 0; х^2 - 2x + 2 = 0.

D = 4 - 8 = -4 (нет корней).

График функции не пересекает ось х, парабола находится выше оси х.

3) Определим четность функции.

f(x) = (х^2 - 2x + 2)/(x - 1);

f(- x) =((-х)^2 - 2(-x) + 2)/(-x - 1) = (х^2 + 2x + 2)/(-x - 1);

f(x) не равно f(- x), f(x) не равно - f(- x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график не пересекает ось х, значит у > 0 на всем своем протяжении.

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции

f(x) = (х^2 - 2x + 2)/(x - 1);

f`(x) =((х^2 - 2x + 2)`(x - 1) - (х^2 - 2x + 2)(x - 1)`)/(x - 1)^2 = (х^2 - 2x)/(x - 1)^2.

Приравняем производную к нулю.

(х^2 - 2x)/(x - 1)^2 = 0;

x - 1 не равно нулю, х не равно -1;

х^2 - 2x = 0; х(х - 2) = 0; х = 0 и х = 2.

(-~; -1) +, функция возрастает;

(-1; 0) +, функция возрастает;

(0; 2) -, функция убывает;

(2; ~) +, функция возрастает.