Экзамен сдавали 13 студентов. Экзаменатор перед началом экзамена рассадил их за круглым столом и попросил назвать тех,

   1. Разместим наших героев по вершинам правильного 13-угольника A1A2...A13.

   2. Если один из двух несоседних студентов Ai и Aj сдал экзамен, то он сказал правду о другом, что тот не сдаст. Значит, второй не сдал. Аналогично, если один из них не сдал экзамен, то он сказал ложь о другом, что тот не сдаст. Значит, второй сдал. Выходит, из двух несоседних студентов один сдал, а другой не сдал экзамен.

   3. Среди 13 студентов можно найти трех попарно несоседних студентов, например A1, A3 и A5. Из предыдущего утверждения следует, что в каждой паре один из студентов сдал экзамен, а другой - нет, что, очевидно, приводит к противоречию. Следовательно, не только невозможно определить число студентов, сдавших экзамен, но и такой ситуации вообще не может существовать, разве что, если сам экзаменатор не сдал экзамен.