Определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти экстремумф функции. y=x×e^-3x

   1. Вычислим производную функции:

      y(x) = xe^(-3x);

      y\'(x) = (x)\'e^(-3x) + x(e^(-3x))\';

      y\'(x) = e^(-3x) - 3xe^(-3x);

      y\'(x) = e^(-3x)(1 - 3x);

      y\'(x) = 0;

      e^(-3x)(1 - 3x) = 0;

      1 - 3x = 0;

      -3x = -1;

      x = 1/3, критическая точка.

   2. Найдем знаки производной в промежутках: (-∞; 1/3) и (1/3; ∞):

      y\'(0) = e^(0)(1 - 0) = 1 > 0;

      y\'(1) = e^(-3)(1 - 3) = -2e^(-3) < 0.

   На промежутке: (-∞; 1/3] функция возрастает.

   На промежутке: [1/3; ∞) функция убывает.

   В точке x = 1/3 функция из возрастания переходит в убывание, следовательно:

      x = 1/3 - точка максимума.