Найти производную: y=ln X+ Х²*sin 1/X

Найдём производную данной функции: y = ln x + x^2 * sin (1 / x).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(1 / x)’ = (-1 / x^2) (производная основной элементарной функции).

(ln x)’ = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (ln x)’ = (1 / х);

2) (x^2)’ = 2 * x^(2 – 1) = 2 * x^1 = 2 * x = 2x;

3) (sin (1 / x))’ = (1 / x)’ * (sin (1 / x))’ = (-1 / x^2) * (cos (1 / x)) = (-cos (1 / x)) / x^2.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (ln x + x^2 * sin (1 / x))’ = (ln x)’ + (x^2 * sin (1 / x))’ = (ln x)’ + ((x^2)’ * sin (1 / x)) + (x^2 * (sin (1 / x))’ = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) + x^2 * (-cos (1 / x)) / x^2 = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).

Ответ: y\' = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).