В равнобедренную трапецию можно вписать окружность Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее

Для решении рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2IrUvWB).

Так как трапеция равнобедренная, то сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

ВС + АД = АВ + СД.

Так как АВ = СД, то ВС + АД = 2 * АВ.

Тогда, по условию, периметр трапеции равен 52 см, то 2 Х АВ = 52 / 2 = 26.

АВ = СД = 26 / 2 = 13 см.

ВС + АД = 26 см.

Воспользуемся формулой площади трапеции и определим длину высоты трапеции.

 S = (ВС + АД) * ВР / 2.

156 = 26 * ВР / 2.

ВР = 12 см.

Из прямоугольного треугольника АВК определим длину катета АК.

АК² = АВ² – ВК² = 13² – 12² = 25.

АК = 5 см.

Высота ВР делит основание трапеции АД на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований, а больнее их полусумме.

ДК = (ВС + АД) / 2 = 26 / 2 = 13 см.

АД = АК + ДК = 5 + 13 = 18 см.

ВС = АД – 2 * АК = 18 – 10 = 8 см.

Треугольники ВОС и АОД подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда ВС / АД = РО / НО.

РО / НО = 8 / 18 = 4 / 9.

РО + ОН = РН = 12 см.

НО = РО * 9 / 4.

РО + РО * 9 / 4 = 12.

13 * РО = 48.

РО = 48 / 13 = 3,7 см.

Ответ: РО = 3,7 см.