Исследовать функцию : f(x)=2/3x^3 - 8x

f(x) = 2/3x³ - 8x

1. Это квадратичная функция

2. Найдем область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число

E(f) = R, у любое число

3. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0

2/3x³ - 8x = 0

х(2/3x² - 8) = 0

х₁ = 0

2/3x² - 8 = 0

2/3x² = 8

x² = 8 * 3/2 = 12

х₂ = - кв.корень из 12

х₃ = + кв.корень из 12

График функции пересекает ось х в точках (- кв.корень из 12), 0 и (кв.корень из 12)

4. Определим четность функции.

f(x) =  2/3x³ - 8x

f(- x) = 2/3(-x)³ - 8(-x) = -  2/3x³ + 8x = - (2/3x³ - 8x)

f(x) равно - f(- x), значит функция нечетная

5. Определим промежутки знакопостоянства.

Так как график пересекает ось х в точках (- кв.корень из 12), 0 и (кв.корень из 12), поэтому подставляем любые числа из промежутков (- бесконечность; - корень из 12), (-корень из 12; 0), (0; корень из 12) и (корень из 12; + бесконечность) и расставляем знаки.

у > 0 на промежутках (-корень из 12; 0) и (корень из 12; + бесконечность)

у < 0 на промежутке (- бесконечность; - корень из 12) и (0; корень из 12)

6. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции

f(x) = 2/3x³ - 8x

f`(x) = 2х² - 8

Приравняем производную к нулю.

2х² - 8 = 0

2х² = 8

х² = 4

х = 2

х= - 2

Подставляем любые числа из промежутков (- бесконечность; -2), (- 2; 2) и (2; + бесконечность), находим знаки.

(- бесконечность; -2) плюс, функция возрастает

(- 2; 2) минус, функция убывает

(2; + бесконечность) плюс, функция возрастает

7. Экстремумы функции. 

х_min = 2

x_max = - 2