Задание 1 Найти вид первообразных функций f(x)=2х^2/5-5х^2+7х/3-3 f(x)=cos5x+9 Задание 2 Для функции f(x) найдите ее

1) Найдем вид первообразной  функции f (x) = 2 * х^2/5 – 5 * х^2 + 7 * х/3 – 3.

F (x) = ∫ (2 * х^2/5 – 5 * х^2 + 7 * х/3 – 3) dx = 2/5 * x^3/3 – 5 * x^3/3 + 7/3 * x^2/2 – 3 * x + C  = 2/15 * x^3 – 5/3 * x^3 + 7/6 * x^2 – 3 * x + C  = -23/15 * x^3 + 7/6 * x^2 – 3 * x + C.

2) Найдем первообразную функции, проходящую через точку  М (1; 4).

f (x) = 3 * x^2  - 2 * x;

F (x) = 3 * x^3/3 – 2 * x^2/2 + C = x^3 – x^2 + C;

F (1) = 4;

F (1) = 1^3 – 1^2  + C = 1 – 1 + C = C.

3) Найдем  неопределённый интеграл.

∫ (x^2 * (x - 1) dx = ∫(x^2 * x – x^2 * 1) dx = ∫(x^3 – x^2) dx =  ∫x^3 dx - ∫x^2 dx = x^4/4 + x^3/3 + C.

4) Найдем определённый интеграл  <br/> 3<br/>|. dx/x^2 <br/> 1

∫(от 1 до 3) 1/x^2 dx = (от 1до 3) ∫ x^(-2) dx = (от 1 – 3)x^ (-3 + 1)/(-3 + 1)  = (от 1 до 3) (-1/(2 * x^2)) = -1/(2 * 3^2) – (-1/(2 * 1^2)) = -1/18 + ½ = ½ - 1/18 = (9 – 1)/18 = 8/18 = 4/9.  

∫(от 1 до 2) (e^x + 1/x) dx = (от 1 до 2) (e^x + 0) = e^2 – e.

6) Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями у = -x^2 + 4 * x, y = 0.

S = ∫(от 0 до 4) (-x^2 + 4 * x) dx = (от 0 до 4) (-x^3/3 + 4 * x^2/2) = (от 0 до 4) (-x^3/3 + 2 * x^2) = (-4^3/3 + 2 * 4^2) – (0) = -64/3 + 2 * 16 = -64/3 + 32 = 32 – 64/3 = 32 – 21 1/3 = 11 – 1/3 = 10 2/3.