Найти производную функции у = sin 3х - cos 3х и вычислите её значение, если х = 3П/4.

Найдём производную данной функции: y = sin 3х - cos 3х.

Воспользовавшись формулами:

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x)’ = - sin x (производная основной элементарной функции).

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (sin 3х - cos 3х)’ = (sin 3х)’ – (cos 3х)’ = (3х)’ * (sin 3х)’ – (3х)’ * (cos 3х)’ = 3cos 3x – 3 * (- sin 3x) = 3cos 3x + 3sin 3x.

Вычислим значение производной в точке х0 = 3π / 4:

y\' (3π / 4) = 3 * cos (3 * (3π / 4)) + 3 * sin (3 * (3π / 4)) = 3 * cos (9π / 4) + 3 * sin (9π / 4) = 3 * cos (2π + (π / 4)) + 3 * sin (2π + (π / 4)) = 3 * cos (π / 4) + 3 * sin (π / 4) = 3 * (cos (π / 4) + sin (π / 4)) = 3 * ((√2 / 2) + (√2 / 2)) = 3 * √2 = 3√2.

Ответ: y\' = 3cos 3x + 3sin 3x, a y\' (3π / 4) = 3√2.