Сколько простых чисел является решением неравенства x^2 * 5^x - 5^2+x <=0 ?

x^2 * 5^x - 5^(2 + x) ≤ 0.

Распишем составную степень:

x^2 * 5^x - 5^2 * 5^x ≤ 0;

x^2 * 5^x - 25 * 5^x ≤ 0;

вынесем 5^x за скобку:

5^x(x^2 - 25) ≤ 0;

5^x(x - 5)(х + 5) ≤ 0;

5^x всегда положительно, значит, (x - 5)(х + 5) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

х - 5 = 0; х = 5 (входит в промежуток).

х + 5 = 0; х = -5 (входит в промежуток).

Отмечаем на числовой прямой точки -5 и 5, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -5 (-) 5 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток [-5; 5].

Вычислим, сколько простых чисел является решением неравенства. Простое число — это целое положительное числа больше единицы, которое делится только на 1 и на самого себя.

В промежуток [-5; 5] входят целые числа -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Выбираем из них простые: 2, 3, 5.

Ответ: три простых числа.