Решить неравенство 2^(x+1)+3<2^(1-x)

Распишем степени:

2^{(x + 1)} + 3 < 2^{(1 - x)}.

2^х * 2 + 3 < 2 * 2^-х;

2 * 2^х + 3 < 2 * 1/2^х.

Перенесем все в левую часть:

2 * 2^х + 3 - 2/2^х < 0.

Введем новую переменную, пусть 2^х = а (а > 0).

2а + 3 - 2/а < 0.

Приведем к общему знаменателю:

(2а² + 3а - 2)/а < 0.

Разложим числитель на множители по формуле ax² + bx + c = а(x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

2а² + 3а - 2 = 2(x - x₁)(x - x₂).

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (-3 - 5)/4 = -8/4 = -2.

х₂ = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2.

2а² + 3а - 2 = 2(х - 1/2)(х + 2).

Получается неравенство 2(х - 1/2)(х + 2)/а < 0.

Решим неравенство методом интервалов:

Корни неравенства: 1/2, -2 и 0.

Отмечаем на числовой прямой точки -2, 0 и 1/2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) -2 (+) 0 (-) 1/2 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).Решением неравенства будут промежутки (-∞; -2) и (0; 1/2).

То есть а < -2 (не может быть).

а > 0 и а < 1/2.

Вернемся к замене 2^х = а.

а > 0; 2^х > 0 (верное неравенство, х - любое число).

а < 1/2; 2^х < 1/2; 2^х < 2^-1; х < -1.

Ответ: х принадлежит промежутку (-∞; -1).