Решите уравнение, используя введение новой переменной: 1/(x^2-2x+2) + 2/(x^2-2x+3) = 6/(x^2-2x+4)

1/(x^2 - 2x + 2) + 2/(x^2 - 2x + 3) = 6/(x^2 - 2x + 4);

1/(x^2 - 2x + 2) + 2/(x^2 - 2x + 2 + 1) = 6/(x^2 - 2x + 2 + 2);

введем новую переменную x^2 - 2x + 2 = y;

1/y + 2/(y + 1) = 6/(y + 2) - приведем дроби к общему знаменателю y(y + 1)(y + 2); дополнительный множитель для первой дроби равен (y + 1)(y + 2), для второй дроби - y(y + 2), для третьей - y(y + 1);

((y + 1)(y + 2) + 2y(y + 2))/((y(y + 1)(y + 2)) = (6y(y + 1))/(y(y + 1)(y + 2)) - две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны числители;

О.Д.З. x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠ -2;

(y + 1)(y + 2) + 2y(y + 2) = 6y(y + 1);

y^2 + 2y + y + 2 + 2y^2 + 4y - 6y^2 - 6y = 0;

-3y^2 + y + 2 = 0;

3y^2 - y - 2 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-1)^2 - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25; √D = 5;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (1 + 5)/(2 * 3) = 6/6 = 1;

x2 = (1 - 5)/6 = -4/6 = -2/3.

Выполним обратную подстановку:

1) x^2 - 2x + 2 = 1;

x^2 - 2x + 2 - 1 = 0;

x^2 - 2x + 1 = 0;

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0;

x = 2/2 = 1.

2) x^2 - 2x + 2 =-2/3;

x^2 - 2x + 2 + 2/3 = 0;

x^2 - 2x + 2 2/3 = 0;

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 2/3 = 4 - 4 * 8/3 = 4 - 32/3 = 4 - 10 2/3 = -5 1/3 < 0 - если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ. 1.