Найти производную функции у=ln(lnx+(под корнем 1+ln^2x))

Найдём производную данной функции: y = ln (ln x + √(1 + ln^2 x)).

Эту функцию можно записать так: y = ln (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2)).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(ln x)’ = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (ln (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2)))’ = ((ln x)’ + ((1)’ + (ln x)’ * ((ln x)^2)’ * (((1 + (ln x)^2)^(1 / 2))’) * (ln (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2)))’ = ((1 / x) + (0 + (1 / x) * (2ln x) * (1 / (2((1 + (ln x)^2)^(1 / 2))) * (1 / (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2))) = ((1 / x) + ((2ln x) / x(2((1 + (ln x)^2)^(1 / 2))) / (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2))).

Ответ: y\' = ((1 / x) + ((2ln x) / x(2((1 + (ln x)^2)^(1 / 2))) / (ln x + (1 + (ln x)^2)^(1 / 2))).