Найти значение производной функции y=x/sinx в точке х0=п/2

Решение:

Найдём производную функции: y = x / sin x.

Эту функцию можно записать так:

y = x * sin^-1 x.

Воспользовавшись формулами:

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(xⁿ)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = (x * sin^-1 x)’ = (x)’ * (sin^-1 x) + x * (sin^-1 x)’ = sin^-1 x + (- x * sin^-2 x) * (cos x) = 1 / sin x – (x * cos x) / sin² x).

Вычислим значение производной в точке х₀ = π / 2.

Используя тригонометрическую таблицу, вычислим «cos π/2» и «sin π/2»:

1) cos π / 2 по тригонометрической таблице равняется 0;

2) sin π / 2 по тригонометрической таблице равняется 1.

Таким образом:

y\' (π / 2) = 1 / sin π / 2 – (π / 2 * cos π / 2) / sin² π / 2) = 1 / 1 – (π / 2 * 0) / 1² ) = 1 – 0 = 1.

Ответ: y\' = 1 / sin x – (x * cos x) / sin² x), а y\' (π / 2) = 1.