Найдите среднюю линию равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, а её высота равна 1дм.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NcppDf).

Из вершины С трапеции проведем отрезок СЕ параллельный ВД.

Так как, по условию, диагонали пересекаются под углом 90⁰, то угол АСЕ треугольника АСЕ так же равен 90⁰.

В равнобедренной трапеции диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки, ОА = ОД, тогда треугольник АОД равнобедренный, а угол ОАД = 45⁰.

Тогда треугольник АСЕ прямоугольный и равнобедренный, СА = СЕ. Высота СН, проведенная из вершины прямого угла АСЕ делит гипотенузу АЕ на равные отрезки, АН = ЕН. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника,СН² = АН * ЕН = АН².

АН² = 12.

АН = 1 дм, тогда АЕ = 2 * 1 = 2 дм.

АЕ = АД + ДЕ.

ДЕ = ВС, так как ВСЕД параллелограмм, а у него противоположные стороны равны.

АЕ = АД + ВС, что есть сумма оснований.

Тогда средняя линия равна:

МР = (АД + ВС) / 2 = АЕ / 2 = 2 / 2 = 1 дм.

Ответ: Средняя линия трапеции равна 1 дм.