Плоскость α пересекает стороны AB и ACтреугольника ABC в точках M и K так, чтоAM=1/3AB; AK=1/3AC. Доказать, что прямаяBC

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2NSYazX).

Пусть длина отрезка АВ = Х см, АС = У см.

Тогда, по условию АМ = АВ / 3 = Х / 3 см, АК = АС / 3 = У / 3 см.

В треугольниках АВС и АМК угол А общий.

Найдем отношение АВ / АК и АС /АК.

Х / (Х / 3) = 1/3.

У / (У/3) = 1/3.

Тогда эти стороны пропорциональны, а треугольники АВС и АМК подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Угол АМК = АВС как углы подобных треугольников. Но это так же и соответственные углы при пересечении двух прямых ВС и МК секущей АВ.

Тогда ВС параллельна КМ, а так как МК принадлежит плоскости α, то и сама плоскость параллельна ВС, что и требовалось доказать.