Сколько целых чисел содержит решение неравенства lg(x^2-15x)<=2

lg(x^2 - 15x) <= 2.

1) Определим ОДЗ: x^2 - 15x > 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 15x, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 15x = 0.

х(х - 15) = 0;

х = 0 и х = 15.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 15, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 0) и (15; +∞).

2) Представим число 2 как логарифм с основанием 10:

lg(x^2 - 15x) <= lg100.

Отсюда: x^2 - 15x <= 100; x^2 - 15x - 100 <= 0.

3) Рассмотрим функцию у = x^2 - 15x - 100, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 15x - 100 = 0.

4) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -15; c = -100;

D = b^2 - 4ac; D = (-15)^2 - 4 * 1 * (-100) = 225 + 400 = 625 (√D = 25);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (15 - 25)/2 = -5;

х₂ = (15 + 25)/2 = 40/2 = 20.

5) Отмечаем на числовой прямой точки -5 и 20, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак <= 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-5; 20].

6) Объединяем решение неравенства и ОДЗ:

[-5; 20] и (-∞; 0) и (15; +∞).

Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: [-5; 0) и (15; 20].

Посчитаем количество целых чисел на промежутках: не промежутке [-5; 0) 5 чисел, на промежутке (15; 20] тоже 5 чисел.

Ответ: 10 целых чисел.