На прогулке по прямолинейному участку дороги дети двигались из пункта А в направлении пункта В, а затем n раз изменили

1) Попробуем проанализировать результат движения детей при различных n.

n = 1. Дети двигаются в направлении из А в В.

2) n = 2. Дети идут в направлении к В. а затем меняют направление , и идут к А.

3) n = 3. Сначала идут к В, потом к А, и третий раз снова к В.

4) Ясно, что любое чётное n даст движение к А, а при не чётном n движение будет по направлению к В. 

5) Для n = 11, которое не чётное справедлив вывод в пункте 4):

дети будут двигаться к точке В.

6) Для n = 12, которое чётное, также согласно выводу п. 4):

дети будут идти к точке А.

7) Для любого натурального n:

если n нечётное, то дети идут к пункту В,

если n чётное, дети идут всё равно к пункту А.