Решить уравнение: 1+сosx+tgx/2=0

   1. Преобразуем уравнение по формуле:

• 1 + cos(2α) = 2cos^2(α);

• 1 + сosx + tg(x/2) = 0;
• 2сos^2(x/2) + tg(x/2) = 0.

   2. Выразим cos^2(x/2) через tg^2(x/2):

• sin^2(x/2) + cos^2(x/2) = 1;
• tg^2(x/2) + 1 = 1/cos^2(x/2);
• cos^2(x/2) = 1/(1 + tg^2(x/2)).

   Получим уравнение:

• 2/(1 + tg^2(x/2)) + tg(x/2) = 0;

   3. Обозначим:

• tg(x/2) = z;

• 2/(1 + z^2) + z = 0;
• 2 + (1 + z^2)z = 0;
• 2 + z + z^3 = 0;
• z^3 + z + 2 = 0;
• z^3 + z^2 - z^2 - z + 2z + 2 = 0;
• z^2(z + 1) - z(z + 1) + 2(z + 1) = 0;
• (z + 1)(z^2 - z + 2) = 0;

   a) z + 1 = 0;

      z = -1;

• tg(x/2) = -1;
• x/2 = -π/4 + πk, k ∈ Z;
• x = -π/2 + 2πk, k ∈ Z.

   b) z^2 - z + 2 = 0;

      D = 1^2 - 4 * 2 = 1 - 8 = -7 < 0, нет решений.

Ответ: -π/2 + 2πk, k ∈ Z.