Найти коэффициент при x^12 в выражении (x^7+x^5+1)^20.

Представим выражение (x^7 + x^5 + 1)^20 следующим образом:

(x^7 + x^5 + 1) * (x^7 + x^5 + 1) * (x^7 + x^5 + 1) * ... * (x^7 + x^5 + 1), где имеется 20 множителей (x^7 + x^5 + 1).

Заметим, что 7 + 5 = 12 и поэтому при раскрытии скобок выражения, x^12 даст

умножение x^5 и x^7 и только оно.

Поэтому, чтобы узнать коэффициент при x^12, мы должны подсчитать подсчитать, скольким способами можно выбрать x^7 из 20 множителей и затем, сколькими способами можно выбрать x^5 из оставшихся 19 множителей.

Итак,

Можно выбрать x^7 из 20 множителей - 20 способов,

Можно выбрать x^5 из оставшихся 19 множителей - 19 способов.

Всего способов 20 * 19 = 380. Но выбирая множители таким образом, мы дважды учитываем одно и тоже умножение x^5 и x^7.

А значит, коэффициент при x^12 равен 20 * 19 / 2 = 190.