Y=x/(9-x^2) Найти промежутки знакопостоянства функций; выяснить поведение функций на концах промежутков знакопостоянства.

Решение:  Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

Существует следующий  алгоритм метода интервалов :

• Находим область определения функции.
• Находим нули функции(точки пересечения графика с осью абсцисс).
• В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось  и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть).
• Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Теперь выполняем задание в указанном порядке: 

1)  x / (9 - x²),  видно, что  (9 - x²) ≠ 0,  x² ≠ 9 , x₁ ≠ - 3, x₂ ≠ 3 ;

областью определения этой функции будут промежутки:

 ( -∞ ; - 3 )  ∪ (-3 ; 0) ∪ (0 ; 3) ∪ (3 ; ∞).

2) Находим нули функции. Для этого  решаем уравнение .

В нашем случае:  x / (9 - x²) = 0;   очевидно что x = 0

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси OX точки:

                -3            0            3

-------------+---------+---------+------------->  x

Определяем знак функции на интервалах.

Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала.

 Из ( -∞ ; - 3 ) берем число  -4;

 -4 / (9 – 16 ) = - 4 / - 7 > 0.; при x -> -∞ , f(x) -> ∞.

Из (-3 ; 0) выбери число  -1;

-1 / ( 9 – 1) < 0. при x -> -3 , f(x) -> -∞.

Из (0 ; 3) выбери число 1;

 1 / ( 9 – 1) > 0. при x -> 3 , f(x) -> ∞.

     Из ( 3 ; ∞) выбери число  4;

  4 /(9 - 16) < 0. при x -> ∞ f(x) -> -∞.

 Ответ: Промежутки знакопостоянства :

( -∞ ; - 3 )  ∪ (-3 ; 0) ∪ (0 ; 3) ∪ (3 ; ∞)