(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55

(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55;(x^2+2x)^2-(x^2+2x+1)=55;t=x^2+2x;t^2-(t+1)=55;t^2-t-1-55=0;t^2-t-56=0;По теореме Виета:x1+x2=1; x1*x2=-56;x1=8 x2=-7;x^2+2x=8;x^2+2x-8=0;По теореме Виета:x1+x2=-2; x1*x2=-8;x1=2 x2=-4;x^2+2x=-7;x^2+2x+7=0;D=2^2-4*7=4-28=-24;D<0 - нет решений;Ответ: 2; -4.

1. Дано уравнение:
- (x + 1)^2 + (x^2 + 2 x)^2 = 55;
2. Преобразуем, вынесем общий множитель за скобки:
(x - 2) (x + 4) (x^2 + 2 x + 7) = 0;
Т.к. правая часть  равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части будет равен нулю.
Получим уравнения:
x - 2 = 0;
x + 4 = 0;
x^2 + 2 x + 7 = 0;
Решаем получившиеся ур-ния:
1. x - 2 = 0;
Получим ответ: x1 = 2;
2. x + 4 = 0;
Получим ответ: x2 = -4;
3. x^2 + 2 x + 7 = 0;

Решаем при помощи дискриминанта.
a = 1;
b = 2;
c = 7;
, то D = b^2 - 4 * a * c = (2)^2 - 4 * (1) * (7) = -24;

Т.к. D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней, но комплексные корни имеются.
x3 = -1 + √6 i;
x4 = -1 - √6 i;
Тогда, окончательный ответ:
x1 = 2;
x2 = -4;
x3 = -1 + √6 i;
x4 = -1 - √6 i.

Преобразуем уравнение до квадратного уравнения

• Для этого вначале преобразуем скобку (x + 1)² по формуле квадрата суммы.
• Формула квадрата суммы: (а + b)² = a² + 2ab + b².
• Следовательно, (x + 1)² = х² + 2х + 1.
• Получается уравнение: (x² + 2x)² - (х² + 2х + 1) = 55.

Как видно, выражение (х² + 2х) повторяется в первой и второй скобке.

Ввод новой переменной

Заменим выражение (х² + 2х) другой буквой, например, t.

Получилось уравнение t² - (t + 1) = 55. Раскроем оставшуюся скобку: 

t² - t - 1 = 55. 

t² - t - 1 - 55 = 0.

t² - t - 56 = 0.  

Получилось квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта.

a = 1; b = -1; c = -56;

D = b² - 4ac; D = (-1)² - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225 (√D = 15);

x = (-b ± √D)/2a;

t₁ = (1 - 15)/2 = -14/2 = -7.

t₂ = (1 + 15)/2 = 16/2 = 8.

Вернемся к замене х² + 2х = t.

1) t = -7; х² + 2х = -7; х² + 2х + 7 = 0.

Решаем новое квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

D = 4 - 28 = -24 (дискриминант получился меньше нуля, следовательно - нет корней).

2) t = 8;  х² + 2х = 8; х² + 2х - 8 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (√D = 6);

х₁ = (-2 - 6)/2 = -8/2 = -4.

х₂ = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2.

Ответ: корни уравнения равны -4 и 2.

Выполним проверку

(x² + 2x)² - (х + 1)² = 55.

1) x = -4.

((-4)² + 2 * (-4))² - (-4 + 1)² = 55

(16 - 8)² - (-3)² = 55.

 8² - 9 = 55.

64 - 9 = 55 (верно).

2) х = 2.

(2² + 2 * 2)² - (2 + 1)² = 55.

(4 + 4)² - 3² = 55.

8² - 9 = 55.

64 - 9 = 55 (верно).