При каком значении параметра b система уравнений x^2+y=b; x^2+y^2=5 имеет: а) одно решение; б) три решения?

   1. Решим параметрическую систему уравнений:

• {x^2 + y = b;{x^2 + y^2 = 5;
• {y = b - x^2; (1){x^2 + (b - x^2)^2 = 5. (2)

   2. Исследуем уравнение:

• x^2 + (b - x^2)^2 = 5;
• x^2 + b^2 - 2bx^2 + x^4 = 5;
• x^4 - (2b - 1)x^2 - (5 - b^2) = 0;

• D = (2b - 1)^2 + 4(5 - b^2);
• D = - 4b + 21;

   Уравнение (2) всегда имеет два решения относительно x^2, если:

• - 4b + 21 > 0;
• 4b < 21;
• b < 21/4.

   3. Относительно x уравнение будет иметь одно или три решения, если один из корней для x^2 равен нулю:

      x^4 - (2b - 1)x^2 - (5 - b^2) = 0;

• -(5 - b^2) = 0;
• b^2 = 5;
• b = ± √5, получим уравнение:

• x^4 - (2b - 1)x^2 = 0;
• x^2(x^2 - 2b + 1) = 0;

• [x^2 = 0;[x^2 - 2b + 1 = 0;
• [x^2 = 0;[x^2 = 2b - 1;

   a) одно решение;

• 2b - 1 ≤ 0;
• 2b ≤ 1;
• b ≤ 1/2;
• b = -√5;

   b) три решения;

• 2b - 1 > 0;
• b > 1/2;
• b = √5.

   Ответ:

• a) одно решение: b = -√5;
• b) три решения: b = √5.