РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО (64x^2+1)(x+3)^2(x^2-3x+2)≥0 5/(2-x)≤4

1) Определим знаки первых двух скобок:

(64x² + 1) всегда больше нуля (квадрат числа плюс положительное число).

(x + 3)² квадрат любого числа всегда положительный.

Значит, и третья скобка положительная.

x² - 3x + 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = x² - 3x + 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x² - 3x + 2 = 0.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

х₁ = (3 - 1)/2 = 1.

х₂ = (3 + 1)/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 1 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 1] и [2; +∞).

2) Перенесем 4 в левую часть неравенства:

5/(2 - x) ≤ 4.

5/(2 - x) - 4 ≤ 0.

Приведем к общему знаменателю.

(5 - 8 + 4х)/(2 - x) ≤ 0;

(4х - 3)/(2 - x) ≤ 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Знаменатель имеет отрицательный коэффициент. Вынесем минус за скобку и умножим на (-1), знак неравенства перевернется.

-(4х - 3)/(х - 2) ≤ 0.

(4х - 3)/(х - 2) ≥ 0.

Корни неравенства:

4х - 3 = 0; 4х = 3; х = 3/4.

х - 2 = 0; х = 2 (не входит в промежуток, это корень из знаменателя).

Отмечаем на числовой прямой точки 3/4 и 2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 3/4 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства ≥ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 3/4] и (2; +∞).