Решите систему уравнений. cosx*cosy=1/4 ctgx*ctgy=-3/4

   1. Преобразуем:

• {cosx * cosy = 1/4; (1){ctgx * ctgy = -3/4; (2)
• {cosx * cosy = 1/4;{(cosx / sinx) * (cosy / siny) = -3/4;
• {cosx * cosy = 1/4;{(cosx * cosy) / (sinx * siny) = -3/4;
• {cosx * cosy = 1/4;{(1/4) / (sinx * siny) = -3/4;
• {cosx * cosy = 1/4;{1 / (sinx * siny) = -3;
• {cosx * cosy = 1/4;{sinx * siny = -1/3;
• {cos^2(x) * cos^2(y) = 1/16;{sinx * siny = -1/3.

   2. Обозначим:

• sinx = p;
• siny = q;

• {(1 - p^2)(1 - q^2) = 1/16;{pq = -1/3;
• {1 - q^2 - p^2 + p^2q^2 = 1/16;{pq = -1/3;
• {1 - q^2 - p^2 + 1/9 = 1/16;{pq = -1/3;
• {p^2 + q^2 = 151/144;{pq = -1/3;
• {(p + q)^2 - 2pq = 151/144;{(p - q)^2 + 2pq = 151/144;
• {(p + q)^2 + 2/3 = 151/144;{(p - q)^2 - 2/3 = 151/144;
• {(p + q)^2 = 55/144;{(p - q)^2 = 247/144;
• {p + q = ±√55/12; (3){p - q = ±√247/12. (4)

   Обозначим:

• √247/24 + √55/24 = s;
• √247/24 - √55/24 = r;
• arcsin(s) = α;
• arcsin(r) = β.

   Сложением и вычитанием уравнений (3) и (4) для каждого из четырех случаев найдем значения p и q: 

• 1) (p; q) = (-s; r);
• 2) (p; q) = (r; -s);
• 3) (p; q) = (-r; s);
• 4) (p; q) = (s; -r).

   Из уравнения (1) следует, что косинусы имеют одинаковый знак, поэтому для x и y выбираем одновременно левые или правые четверти:

• 1) (x; y) = (-α + 2πk; β + 2πk); (π + α + 2πk; π - β + 2πk);
• 2) (x; y) = (β + 2πk; -α + 2πk); (π - β + 2πk; π + α + 2πk);
• 3) (x; y) = (-β + 2πk; α + 2πk); (π + β + 2πk; π - α + 2πk);
• 4) (x; y) = (α + 2πk; -β + 2πk); (π - α + 2πk; π + β + 2πk).