N проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему, Докажите, что каждая точка, равноудаленная от точек A и B,

Доказательство:

Пусть n пересекает АВ в точке О.

а) Выберем любую точку С на прямой n. Δ АВС - равнобедренный, так как СО - медиана и высота, значит, AC = BC.

б) Пусть АС = СВ, где С - любая точка плоскости, удовлетворяющая равенству. Тогда Δ ABC - равнобедренный и СО - медиана и высота. Значит, СО лежит на прямой n, т. е. С ∈ n.