В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 12 и образует с основанием пирамиду 30°. Найдите сторону основания.

Решение задачи:

Обозначим: Н - высота пирамиды;

                   h - высота основания;

                   R - радиус описанной в основание окружности;

                   r - радиус вписанной окружности;

                   b - ребро пирамиды;

                   а - сторона основания.

1. Определим Н.

H = b/2 = 12 : 2 = 6 см.

2. Определим R.

R² = 12² - 6² = 144 – 36 = 108;

R = √108 = 6√3.

3. Определим r.

R = 2r;

r = R : 2;

r = (6√3) : 2 = 3√3.

4. Определим h.

h = R + r = 6√3 + 3√3 = 9√3.

5. Определим а.

h = (a√3) : 2;

a = 2h : √3 = (2 * 9√3) : √3 = 18 cм.

Ответ: сторона основания 18 см.