При каком значении параметра b прямая y = 6 x + b является касательной к функции f (x) = x^3 + 3 x?

   1. В точке касания прямой y = 6x + b с графиком функции f(x), производная f\'(x) равна первому коэффициенту линейной функции:

      y = 6x + b;

      f(x) = x^3 + 3x;

      f\'(x) = 3x^2 + 3;

      f\'(x0) = 6;

      3x0^2 + 3 = 6;

      3x0^2 = 3;

      x0^2 = 1;

      x0 = ±1.

   2. Найдем значение параметра b:

      b = y - 6x;

   a) x0 = -1;

      y0 = f(x0) = f(-1) = (-1)^3 + 3 * (-1) = -1 - 3 = -4;

      b = y0 - 6x0 = -4 - 6 * (-1) = -4 + 6 = 2;

   b) x0 = 1;

      y0 = f(x0) = f(1) = 1^3 + 3 * 1 = 1 + 3 = 4;

      b = y0 - 6x0 = 4 - 6 * 1 = 4 - 6 = -2.

   Ответ: -2; 2.