Найдите целую часть числа (√(n) + √(n+1))^2, где n-натуральное число.

Возведём выражение в квадрат:

[√(n) + √(n + 1)]^2 = [√(n)]^2 + 2 * √(n)  * √(n+1) + [√(n + 1)]^2 = n + 2 * √(n)  * √(n+1) + (n + 1) =

2 * n + 1 + 2 * √(n)  * √(n+1). (1)

Для нахождения целой части всего выражения, нужно выделить целую часть из выражения с корнем. Для этого используем, неравенство по которому: n < √(n) * (n+1)< n + 1,умножив на 2, получим:

2 * n < 2 * √(n) * (n+1)< 2 * (n + 1).

Согласно этому неравенству целая часть 2 * √(n)  * (n+1) равна 2 * n, так как меньше 2 * n + 1.

Подставив полученное выражение в (1), получим целую часть:

2 * n + 1 + 2 * n = 4 * n + 1.