Решите log по основанию x+1 (2×+5)>2

log_{(x + 1)}(2x + 5) > 2.

1) Представим 2 как логарифм с основанием (х + 1):

2 = log_{(х + 1)}(х + 1)^2 = log_{(х + 1)}(x^2 + 2x + 1).

log_{(x + 1)}(2x + 5) > log_{(х + 1)}(x^2 + 2x + 1).

2) Определим ОДЗ:

х + 1 не равно 1, х не равно 0.

х + 1 > 0; x > -1.

2x + 5 > 0; 2x > -5; x > -2,5.

3) log_{(x + 1)}(2x + 5) > log_{(х + 1)}(x^2 + 2x + 1).

Получается, что (х + 1 - 1)(2x + 5 - (x^2 + 2x + 1)) > 0;

х(2x + 5 - x^2 - 2x - 1) > 0;

х(-x^2 + 4) > 0.

Вынесем минус из скобки и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства.

-х(x^2 - 4) > 0;

х(x^2 - 4) < 0.

Разложим скобку на две по формуле разности квадратов:

х(х - 2)(х + 2) < 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Найдем корни неравенства:

х = 0;

х - 2 = 0; х = 2.

х + 2 = 0; х = -2.

Отмечаем на числовой прямой точки -2, 0 и 2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) -2 (+) 0 (-) 2 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).Решением неравенства будут промежутки (-∞; -2) и (0; 2).

3) Объединяем решение неравенства и ОДЗ:

(-∞; -2) и (0; 2);

х + 1 не равно 1, х не равно 0.

x > -1.

x > -2,5.

Отмечаем на одной прямой все решения неравенств, штрихуем нужные участки прямой. Там, где все штриховки совпали, и будет решение: (0; 1) и (1; 2).

Ответ: х принадлежит промежуткам (0; 1) и (1; 2).