Производная функции f(x)=cos(x/2) в некоторой точке x0 равна 0,25. Найдите f(x0).

Решение:

Найдём производную функции: f(x) = cos (x / 2)

Воспользовавшись формулами:

1) (cos x)’ = - sin x (производная основной элементарной функции)

2) (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования)

3) y = f(g(x)), y’ = f’_u(u) * g’_x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования)

И так, найдем производную:

f\'’(x) = (cos (x / 2))’ =  (x / 2)’ * (cos (x / 2))’ = 1 / 2 (-sin (x / 2)) = - 1 / 2 sin (x / 2)

В некоторой точке x₀ f\'’(x₀) = 0,25, найдем x₀

0,25 = - 1 / 2  sin (x / 2)

sin (x / 2) = 0,25 * 2

sin (x / 2) = 0,5 = 1 / 2

х / 2 = 2πn + arcsin (1 / 2) = 2πn + π / 6, где n - любое целое число

х / 2 = 2πn - arcsin (1 / 2) + π = 2πn + 5π / 6, где n - любое целое число

Умножим обе части полученных уравнений на 2:

х₁ = 4πn + π / 3

х₂ = 4πn + 5π / 3

Найдем f(x₀):

f(x₁) = cos ((π / 3) / 2) = cos (π / 6) = (√3) / 2

f(x₂) = cos ((5π / 3) / 2) = cos (5π / 6) = - (√3) / 2

Ответ: f(x₁) = (√3) / 2; f(x₂) = - (√3) / 2.