Найдите критические точки функции f(x)= x^3\9+4\x^3. Какие из этих точек будут точками максимума, а какие-минимума?

   1. Область определения функции:

      f(x) = x^3/9 + 4/x^3;

      x^3 ≠ 0;

      x ≠ 0;

      x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; ∞).

   2. Найдем критические точки функции, вычислив производную:

      f(x) = x^3/9 + 4/x^3;

      f(x) = 1/9 * x^3 + 4 * x^(-3);

      f\'(x) = 1/9 * 3x^2 + 4 * (-3)x^(-4);

      f\'(x) = 1/3 * x^2 - 12/x^4;

      1/3 * x^2 - 12/x^4 = 0;

      x^6 - 36 = 0;

      (x^3 + 6)(x^3 - 6) = 0;

      [x^3 + 6 = 0;      [x^3 - 6 = 0;

      [x^3 = -6;      [x^3 = 6;

      x = ±6^(-3) - критические точки.

   3. Промежутки монотонности функции:

• a) x ∈ (-∞; -6^(-3)), y\' > 0 - функция возрастает;
• b) x ∈ (-6^(-3); 0), y < 0 - функция убывает;
• c) x ∈ (0; 6^(-3)), y < 0 - функция убывает;
• d) x ∈ (6^(-3); ∞), y\' > 0 - функция возрастает.

• x = -6^(-3) - точка максимума;
• x = 6^(-3) - точка минимума.

   Ответ. Критические точки функции:

• -6^(-3) - точка максимума;
• 6^(-3) - точка минимума.