Решите неравенства (через ОДЗ) 1. log1/2(2x+5)>-3 2. log3(x2-1)

1) log_1/2(2x + 5) > -3.

Избавимся от дробного основания логарифма:

log_1/2(2x + 5) =  log_2^-1(2x + 5) = - log₂(2x + 5).

- log₂(2x + 5) > -3.

Умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

log₂(2x + 5) < 3.

Представим число 3 как логарифм с основанием 2: 3 = log₂8.

log₂(2x + 5) < log₂8.

Найдем ОДЗ: 2x + 5 > 1; 2х > 1 - 5; 2x > -4; x > -2.

Решаем неравенство: 2x + 5 < 8; 2х < 8 - 5; 2x < 3; x < 1,5.

Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: (-2; 1,5).

2) log₃(x^2 - 1) < log₃(x + 1) + 1.

Найдем ОДЗ: x^2 - 1 > 0; (x + 1)(x - 1) > 0. Решение неравенства (-∞; -1) и (1; +∞).

x + 1 > 0; x > -1. Общее решение ОДЗ: (1; +∞).

Представим 1 как логарифм с основанием 3: 3 = log₃3.

Получается неравенство log₃(x^2 - 1) < log₃(x + 1) + log₃3.

По правилу сложения логарифмов: log₃(x^2 - 1) < log₃3(x + 1).

Отсюда: x^2 - 1 < 3(x + 1);

x^2 - 1 - 3(x + 1) < 0;

x^2 - 1 - 3x - 3 < 0;

x^2 - 3x - 4 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 3x - 4, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; у = x^2 - 3x - 4.

D = 9 + 16 = 25 (√D = 5);

х₁ = (3 - 5)/2 = -1;

х₂ = (3 + 5)/2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-1; 4).

Объединяем решение неравенства и ОДЗ: (1; +∞) и (-1; 4). Решение неравенства (1; 4).