Докажите что при любом целом a разность а^6-а^2 делится на 30

Преобразуем выражение а⁶ - а² к следующему виду:

а⁶ - а² = а² * (а⁴ - 1).

Используя формулу разности квадратов, получаем:

а² * (а⁴ - 1) = а² * (а² - 1) * (а² + 1) = а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) .

Числа а - 1, а и а + 1 являются тремя последовательными целыми числами, следовательно, одно из них будет делится на 2 и одно из них будет делится на 3.

Следовательно, произведение этих чисел, а также выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет делится на 2 * 3 = 6.

Покажем, что выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет делится на 5.

Рассмотрим пять случаев.

1) Число а делится на 5 без остатка.

Тогда множитель а² будет делится на 5 и выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет также делится на 5.

2) Число а делится на 5 с остатком 1.

Тогда множитель а - 1 будет делится на 5 и выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет также делится на 5.

3) Число а делится на 5 с остатком 2.

Тогда число а можно записать в виде а = 5k + 2, где k - некоторое целое число.

Найдем значение выражения а² + 1:

а² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 20k + 4 + 1 = 25k² + 20k + 5 = 5 * (5k² + 4k + 1).

Из полученного представления следует, что множитель а² + 1 будет делится на 5 и выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет также делится на 5.

4) Число а делится на 5 с остатком 3.

Тогда число а можно записать в виде а = 5k + 3, где k - некоторое целое число.

Найдем значение выражения а² + 1:

а² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 30k + 9 + 1 = 25k² + 30k + 10 = 5 * (5k² + 6k + 2).

Из полученного представления следует, что множитель а² + 1 будет делится на 5 и выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет также делится на 5.

5) Число а делится на 5 с остатком 4.

Тогда множитель а + 1 будет делится на 5 и выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) будет также делится на 5.

Таким образом, выражение а² * (а - 1) * (а + 1) * (а² + 1) делится на 6 и на 5, следовательно, оно делится на произведен этих чисел.

Следовательно, выражение а⁶ - а² делится на 30.