2*4^x - 3*10^x = 5*25^x решить показательное уравнение

1. Преобразуем выражение

2*4^x - 3*10^x = 5*25^х 

2*(2²)^x - 3*(2 * 5)^x = 5*(5²)^х 

2*(2^х)² - 3 * 2^х * 5^x = 5*(5^х)²

2. Пусть 2^х = а, 5^x = в

Тогда выражение приобретает вид 2а² - 3ав = 5в²

 2а² - 3ав - 5в² = 0

3. Представим - 5в² как - 2в² - 3в² 

2а² - 3ав - 2в² - 3в²  = 0

4. Разложим на множители методом группировки.

2а² - 2в² - 3ав - 3в²  = 0

2(а² - в²) - 3в(а - в) = 0

5. Разложим а² - в² как (а - в)(а + в)

2(а - в)(а + в) - 3в(а - в) = 0

6. Вынесем множитель (а - в)

(а - в)(2(а + в) - 3в) = 0

(а - в)(2а + 2в - 3в) = 0

(а - в)(2а - в) = 0

7. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а - в = 0 или 2а - в = 0

8. Возвращаемся в замене 2^х = а, 5^x = в.

2^х - 5^x = 0

2^х = 5^x (такого не может быть, 2 не равно 5)

2 * 2^х - 5^x = 0 |: 2^х 

2 - (5/2)^х = 0

(5/2)^х = 2

х = log₂(5/2) = log₂5 - log₂2 = log₂5 - 1