Найти f ' (x), если f(x)=(5х-4)⁶×√(3х-2)

Найдём производную данной функции: f(x) = ((5х - 4)^6) * √(3х - 2).

Эту функцию можно записать так: f(x) = ((5х - 4)^6) * ((3х - 2)^(1 / 2)).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) ((5х - 4)^6)’ = (5х-4)’ * ((5х - 4)^6)’ = ((5х)’ – (4)’) * ((5х - 4)^6)’ = (5 – 0) * (6 * (5х - 4)^5) = 30(5х - 4)^5;

2) ((3х - 2)^(1 / 2))’ = (3х - 2)’ * ((3х - 2)^(1 / 2))’ = ((3х)’ – (2)’) * ((3х - 2)^(1 / 2))’ = (3 – 0) * ((1 / 2) * (3х - 2)^(- 1 / 2)) = 3 / 2√(3х - 2).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = (((5х - 4)^6) * √(3х - 2))’ = (((5х - 4)^6) * ((3х - 2)^(1 / 2)))’ = ((5х - 4)^6)’ * ((3х - 2)^(1 / 2)) + ((5х - 4)^6) * ((3х - 2)^(1 / 2))’ = (30(5х - 4)^5) * ((3х - 2)^(1 / 2)) + ((5х - 4)^6) * 3 / 2√(3х - 2) = (30(5х - 4)^5) * ((3х - 2)^(1 / 2)) + 3((5х - 4)^6) / 2√(3х - 2).

Ответ: f(x)\' = (30(5х - 4)^5) * ((3х - 2)^(1 / 2)) + 3((5х - 4)^6) / 2√(3х - 2).