Исследуйте функцию y=(x^2-1)^2

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = (x² - 1)².

(x² - 1)² = 0;

 x² - 1 = 0;

x² = 1; х = -1 и х = 1.

График функции пересекает ось х в точках -1 и 1.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = (x² - 1)² = (0² - 1)² = (-1)² = 1.

График пересекает ось у в точке 1.

3) Определим четность функции.

f(x) = (x² - 1)².

f(- x) = ((-x)² - 1)² = (x² - 1)².

f(x) равно f(- x), значит функция четная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

Так как значение выражения (x² - 1)² всегда положительно, то у > 0 на всем протяжении кроме точек пересечения с осью х (-1 и 1).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = (x² - 1)²

f`(x) = 2(x² - 1) * (x² - 1)\' = (2x² - 2) * 2х = 4х³ - 4х.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0;

4х³ - 4х = 0;

4х(x² - 1) = 0; 4х (х - 1)(х + 1) = 0.

х = 0; х = -1 и х = 1.

Отмечаем на числовой прямой точки -1, 0 и 1, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-∞; -1) производная (-), функция убывает.

(-1; 0) производная (+), функция возрастает.

(0; 1) производная (-), функция убывает.

(1; +∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точки -1 и 1 - это точки минимума, а 0 - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = (x² - 1)².

х_min = -1; у = ((-1)² - 1)² = 0.

х_min = 1; у = (1² - 1)² = 0.

х_max = 0; у = у = (0² - 1)² = 1.