Y=x^3-12x^2+3x Исследовать функцию и построить график (периодичность, точки перегиба, критич. точки, точки пересечения,

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

y = x³ - 12x² + 3x

x³ - 12x² + 3x = 0;

х(х² - 12х + 3) = 0.

х = 0.

Или х² - 12х + 3 = 0.

D = 144 – 12 = 132 (√D = √132 = 2√33)/

x₁ = (12 – 2√33)/2 = 6 - √33 (~ 0,3).

x₂ = 6 + √33 (~ 11,7).

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - √33 и 6 + √33.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = x³ - 12x² + 3x = 0³ – 12 * 0² + 3 * 0 = 0.

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f(x) = x³ - 12x² + 3x.

f(- x) = (-x)³ – 12 * (-x)² + 3 * (-x) = -x³ - 12x² - 3x = -( x³ + 12x² + 3x).

f(x) не равно f(-x) и f(x) не равно -f(-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - √33 и 6 + √33.

(-∞; 0) пусть х = -1; у = (-1)³ – 12 * (-1)² + 3 * (-1) = -1 – 12 – 3 = -16 (-).

(0; 6 - √33) пусть х = 0,1; у = (0,1)³ – 12 * (0,1)² + 3 * (0,1) = 0,001 – 0,12 + 0,3 = 0,1801 (+).

(6 - √33; 6 + √33) пусть х = 1; у = 1³ – 12 * 1² + 3 * 1 = 1 – 12 + 3 = -8  (-).

(6 + √33; +∞) пусть х = 12; у = 12³ – 12 * 12² + 3 * 12 = 36 (+).

у > 0 на промежутках (0; 6 - √33) и (6 + √33; +∞).

у < 0 на промежутках (-∞; 0) и (6 - √33; 6 + √33).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = x³ - 12x² + 3x.

f`(x) = 3х² - 24х + 3.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0;

3х² - 24х + 3 = 0 (кв. парабола, ветви вверх);

D = 576 – 36 = 540 (√D = √540 = 6√15).

x₁ = (24 – 6√15)/6 = 4 - √15 (~ 0,2).

x₂ = 4 + √15 (~ 7,8).

Определяем знаки производной на каждом промежутке:

(-∞; 4 - √15) производная (+), функция возрастает.

(4 - √15; 4 + √15) производная (-), функция убывает.

(4 + √15; +∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точка (4 + √15) - это точка минимума, а (4 - √15) - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = x³ - 12x² + 3x.

х_min = 4 + √15; у_min = (4 + √15)³ – 12 * (4 + √15)² + 3 * (4 + √15) = -116 – 30√15.

х_max = (4 - √15); у_max = (4 - √15)³ – 12 * (4 - √15)² + 3 * (4 - √15) = -116 + 30√15.