Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n/2 является квадратом натурального числа, а n/3 — кубом натурального

   1. По условию задачи:

      {n/2 = a^2, a ∈ N;      {n/3 = b^3, b ∈ N;

      {n = 2a^2; (1)      {n = 3b^3. (2)

   2. Умножим обе части уравнений (1) и (2) друг на друга:

      n^2 = 2a^2 * 3b^3;

      n^2 = a^2 * 6b^3. (3)

   4. Из уравнения (3) следует, что b содержит простые множители 2 и 3:

      b = 6k, k ∈ N.

   Отсюда получим:

      n = 3b^3 = 3 * (6k)^3;

      n = 3 * 6^3 * k^3;

      n = 2^3 * 3^4 * k^3;

      n = 648k^3.

   5. Наименьшее значение для n получим, если:

      k = 1;

      n = 648k^3 = 648.

   6. Проверим условие задачи:

• 648 / 2 = 324 = 18^2;
• 648 / 3 = 216 = 6^3.

   Ответ: 648.